5. $$\int\frac{dx}{x^2+2x+3}$$

Решение:

Для решения данного интеграла приведем знаменатель к виду полного квадрата.

Знаменатель: \( x^2 + 2x + 3 \).

Выделим полный квадрат:

\( x^2 + 2x + 1 + 2 = (x+1)^2 + 2 \)

Теперь интеграл имеет вид:

\( \int\frac{dx}{(x+1)^2 + 2} \)

Это интеграл вида \( \int\frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan(\frac{u}{a}) + C \).

В нашем случае:

Пусть \( u = x+1 \), тогда \( du = dx \).

\( a^2 = 2 \), значит \( a = \sqrt{2} \).

Подставляем в формулу:

\( \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(\frac{x+1}{\sqrt{2}}) + C \)

Ответ: \( \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(\frac{x+1}{\sqrt{2}}) + C \)