2) Из точки A к окружности с центром O проведены касательные AB и AC (B и C — точки касания). Найдите периметр треугольника ABC, если OA=10 см, а угол BOC=60°.

Радиусы OB и OC перпендикулярны касательным AB и AC. Поэтому угол BAC и угол BOC — дополнительные:

\(\angle BAC=180^\circ-60^\circ=120^\circ\).

Треугольник ABC равнобедренный, поэтому \(AB=AC\). В прямоугольном треугольнике AOB:

\(\angle BAO=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ\),

\(AB=OA\cdot\operatorname{ctg}60^\circ=10\cdot\frac{1}{\sqrt3}=\frac{10\sqrt3}{3}\) см.

Хорда BC стягивает центральный угол 60°:

\(BC=2R\sin30^\circ=2\cdot10\cdot\frac12=10\) см.

Периметр:

\(P=AB+AC+BC=2\cdot\frac{10\sqrt3}{3}+10=10+\frac{20\sqrt3}{3}\) см.

Ответ: \(10+\frac{20\sqrt3}{3}\) см.