4) Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 9 см, а основание равно 24 см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.

Высота равнобедренного треугольника делит основание пополам:

\(\frac{24}{2}=12\) см.

Боковая сторона по теореме Пифагора:

\(a=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15\) см.

Площадь треугольника:

\(S=\frac12\cdot24\cdot9=108\) см².

Полупериметр:

\(p=\frac{15+15+24}{2}=27\) см.

Радиус вписанной окружности:

\(r=\frac{S}{p}=\frac{108}{27}=4\) см.

Радиус описанной окружности:

\(R=\frac{abc}{4S}=\frac{15\cdot15\cdot24}{4\cdot108}=\frac{25}{2}=12.5\) см.

Ответ: радиус вписанной окружности — 4 см; радиус описанной окружности — 12,5 см.