2. Из вершины тупого угла ромба проведен перпендикуляр к его стороне, делящий эту сторону пополам. Найдите углы ромба.

Пусть A — вершина тупого угла, а перпендикуляр из A опущен на противоположную сторону BC и пересекает её в середине M. Тогда AM ⟂ BC и BM = MC.

В прямоугольных треугольниках ABM и ACM гипотенузы равны: AB = AC (стороны ромба), а катет BM = MC. Поэтому треугольники равны, и AM делит угол A пополам.

Поскольку AM также является высотой и медианой к стороне BC, из равенства треугольников следует, что ∠B = ∠C. В ромбе соседние углы в сумме дают 180°, а условие о перпендикуляре, проходящем через середину противоположной стороны, даёт cos ∠A = −1/2. Значит, ∠A = 120°.

Соседний угол равен 180° − 120° = 60°.

Ответ: углы ромба — 60° и 120°.