2. Известно, что в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ ∠A = ∠A₁, AB = A₁B₁, AC = A₁C₁. На сторонах BC и B₁C₁ отмечены точки K и K₁, такие, что CK = C₁K₁. Докажите, что △ABK = △A₁B₁K₁.

1. В треугольниках \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) равны две стороны и угол между ними: \(AB=A_1B_1\), \(AC=A_1C_1\), \(\angle A=\angle A_1\). Поэтому \(\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1\) по первому признаку равенства треугольников.
2. Из равенства этих треугольников следует, что \(BC=B_1C_1\) и \(\angle ABC=\angle A_1B_1C_1\).
3. Так как \(K\) и \(K_1\) лежат на соответствующих сторонах и \(CK=C_1K_1\), то \(BK=BC-CK=B_1C_1-C_1K_1=B_1K_1\).
4. Поскольку \(K\in BC\) и \(K_1\in B_1C_1\), имеем \(\angle ABK=\angle A_1B_1K_1\). Вместе с равенством \(AB=A_1B_1\) и \(BK=B_1K_1\) это даёт равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Следовательно, \(\triangle ABK=\triangle A_1B_1K_1\).