4. Дано: AB = BC, AK = KC, ∠AKE = ∠PKC (рис. 2). Доказать: △AKE = △CKP.

1. Так как \(AB=BC\), треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\), поэтому \(\angle BAC=\angle ACB\). С учётом того, что \(E\in AB\), \(P\in BC\), а точки \(A,K,C\) лежат на одной прямой, получаем \(\angle KAE=\angle KCP\).
2. По условию \(\angle AKE=\angle PKC\). Это тот же угол, что \(\angle CKP\), поскольку он образован лучами \(KC\) и \(KP\).
3. Дано также \(AK=KC\). Значит, в треугольниках \(AKE\) и \(CKP\) равны сторона и два прилежащих к ней угла.

Следовательно, \(\triangle AKE=\triangle CKP\) по второму признаку равенства треугольников.