2. Как выводятся формулы для момента инерции стержня и диска?

Момент инерции сплошного тела находят суммированием вкладов его малых элементов: \(I=\int r^2\,dm\).

Стержень длины \(L\), массы \(M\), ось через центр перпендикулярна стержню.

1. При однородном распределении массы линейная плотность \(\lambda=M/L\), поэтому \(dm=\lambda\,dx\).
2. Отсчитывая координату от центра стержня, получаем \(I=\int_{-L/2}^{L/2}x^2\lambda\,dx\).
3. Интегрируя: \(I=\lambda\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-L/2}^{L/2}=\frac{ML^2}{12}\).

Тонкий однородный диск радиуса \(R\), массы \(M\), ось проходит через центр перпендикулярно плоскости диска.

1. Рассмотрим кольцо радиуса \(r\) и ширины \(dr\). Поверхностная плотность диска \(\sigma=M/(\pi R^2)\), а масса кольца \(dm=2\pi r\sigma\,dr\).
2. Для кольца все элементы находятся на расстоянии \(r\) от оси, поэтому \(dI=r^2dm\). Тогда \(I=\int_0^R2\pi\sigma r^3\,dr\).
3. Вычисляя интеграл, получаем \(I=\frac{\pi\sigma R^4}{2}=\frac{MR^2}{2}\).

Ответ: для стержня относительно указанной оси \(I=ML^2/12\), для диска относительно центральной оси \(I=MR^2/2\).