3. Как выводится основной закон динамики вращательного движения?

Для точки массы \(m_i\), вращающейся на расстоянии \(r_i\) от неподвижной оси, касательное ускорение равно \(a_{\tau i}=r_i\varepsilon\), где \(\varepsilon\) — угловое ускорение.

1. По второму закону Ньютона касательная сила \(F_{\tau i}=m_i a_{\tau i}=m_i r_i\varepsilon\).
2. Момент этой силы относительно оси: \(M_i=r_iF_{\tau i}=m_i r_i^2\varepsilon\).
3. Складывая моменты для всех точек тела, получаем \(\sum_i M_i=\varepsilon\sum_i m_i r_i^2\).
4. Так как \(I=\sum_i m_i r_i^2\), то для тела с постоянным моментом инерции относительно неподвижной оси \(\sum M=I\varepsilon\).

В общем виде основной закон записывают как \(\sum\mathbf{M}=d\mathbf{L}/dt\), где \(\mathbf{L}\) — момент импульса. Формула \(\sum M=I\varepsilon\) применима, в частности, при вращении вокруг неподвижной оси с постоянным \(I\).

Ответ: равнодействующий момент сил равен произведению момента инерции тела на его угловое ускорение: \(\sum M=I\varepsilon\).