5. AB — общая касательная к двум касающимся окружностям радиусами 9 см и 4 см, А и В — точки касания (рис. 4). Найдите длину отрезка AB.

Краткое пояснение:

Для нахождения длины общей касательной к двум касающимся окружностям используется формула, которая выводится с помощью построения прямоугольного треугольника.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим центры окружностей как O1 и O2, а их радиусы как r1 = 9 см и r2 = 4 см соответственно.
2. Шаг 2: Соединим центры окружностей O1 и O2. Так как окружности касаются, расстояние между их центрами равно сумме радиусов: O1O2 = r1 + r2 = 9 см + 4 см = 13 см.
3. Шаг 3: Проведем линию O1A и O2B. Эти линии являются радиусами, проведенными к точкам касания, и перпендикулярны касательной AB.
4. Шаг 4: Построим прямоугольник. Из точки O2 проведем прямую, параллельную AB, до пересечения с O1A. Обозначим точку пересечения как C. Тогда AB = O2C, и AC = O2B = r2 = 4 см.
5. Шаг 5: В прямоугольном треугольнике O1CO2:
• Гипотенуза O1O2 = 13 см.
• Катет O1C = O1A - AC = r1 - r2 = 9 см - 4 см = 5 см.
• Катет O2C (который равен AB) найдем по теореме Пифагора: O2C² = O1O2² - O1C².
6. Шаг 6: Вычисляем длину O2C (AB). AB² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144.
7. Шаг 7: Находим AB. AB = √144 = 12 см.

Ответ: 12 см