2. Медиана равностороннего треугольника равна 11√3. Найдите сторону этого треугольника.

Задание 2. Медиана равностороннего треугольника

Дано:

• Равносторонний треугольник ABC.
• Медиана (например, BM) = \( 11\sqrt{3} \).

Найти: сторону треугольника (AB).

Решение:

В равностороннем треугольнике медиана является также высотой и биссектрисой.

Рассмотрим треугольник ABM. Так как BM — высота, то \( \angle BMA = 90° \).

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Медиана BM является биссектрисой угла B, поэтому \( \angle ABM = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 60° = 30° \).

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ABM с известным углом \( \angle ABM = 30° \) и катетом BM = \( 11\sqrt{3} \).

Используем тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике:

\[ \tan(\angle ABM) = \frac{AM}{BM} \]\[ \tan(30°) = \frac{AM}{11\sqrt{3}} \]

Знаем, что \( \tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}} \).

\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AM}{11\sqrt{3}} \]

Отсюда, \( AM = \frac{11\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 11 \).

Сторона AB треугольника ABC равна удвоенной длине отрезка AM, так как медиана (и высота) в равностороннем треугольнике делит противолежащую сторону пополам.

\[ AB = 2 \cdot AM \]\[ AB = 2 \cdot 11 \]\[ AB = 22 \]

Ответ: 22