2. Моторная лодка прошла 36 км по течению реки и вернулась обратно, затратив на весь путь 5 часов. Скорость течения реки 3 км/ч. Найдите собственную скорость лодки,

Краткая запись:

• Расстояние в одну сторону (S): 36 км
• Общее время (T): 5 ч
• Скорость течения реки (v_т): 3 км/ч
• Найти: Собственная скорость лодки (v_л) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим собственную скорость лодки как \(v\) км/ч.
2. Шаг 2: Скорость лодки по течению: \(v + 3\) км/ч.
3. Шаг 3: Скорость лодки против течения: \(v - 3\) км/ч.
4. Шаг 4: Время, затраченное на путь по течению: \( t_1 = S / (v + 3) = 36 / (v + 3) \) часов.
5. Шаг 5: Время, затраченное на путь против течения: \( t_2 = S / (v - 3) = 36 / (v - 3) \) часов.
6. Шаг 6: Общее время в пути: \( t_1 + t_2 = 5 \) часов.
   \( 36 / (v + 3) + 36 / (v - 3) = 5 \).
7. Шаг 7: Решаем уравнение. Приведем дроби к общему знаменателю \( (v + 3)(v - 3) = v^2 - 9 \):
   \( 36(v - 3) + 36(v + 3) = 5(v^2 - 9) \)
   \( 36v - 108 + 36v + 108 = 5v^2 - 45 \)
   \( 72v = 5v^2 - 45 \)
   \( 5v^2 - 72v - 45 = 0 \).
8. Шаг 8: Решаем квадратное уравнение через дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):
   \( D = (-72)^2 - 4 · 5 · (-45) = 5184 + 900 = 6084 \).
   \( √{D} = 78 \).
9. Шаг 9: Находим корни уравнения:
   \( v_1 = (72 + 78) / (2 · 5) = 150 / 10 = 15 \) км/ч.
   \( v_2 = (72 - 78) / (2 · 5) = -6 / 10 = -0.6 \) км/ч.
10. Шаг 10: Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень.

Ответ: Собственная скорость лодки 15 км/ч.