3. Два экскаватора, работая вместе, вырыли котлован за 5 часов. Первый экскаватор один может вырыть этот котлован на 8 часов быстрее, чем второй. За сколько часов второй экскаватор выроет котлован один?

Краткая запись:

• Время совместной работы: 5 ч
• Разница во времени работы первого и второго экскаватора: 8 ч
• Найти: Время работы второго экскаватора (t2) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим объем всей работы (вырыть котлован) как 1.
2. Шаг 2: Пусть \(t_1\) — время, за которое первый экскаватор выроет котлован один, а \(t_2\) — время, за которое второй экскаватор выроет котлован один.
3. Шаг 3: По условию, \(t_1 = t_2 - 8\) часов.
4. Шаг 4: Производительность первого экскаватора: \( P_1 = 1 / t_1 = 1 / (t_2 - 8) \) котлована в час.
5. Шаг 5: Производительность второго экскаватора: \( P_2 = 1 / t_2 \) котлована в час.
6. Шаг 6: Производительность при совместной работе: \( P_{совместн} = P_1 + P_2 = 1 / (t_2 - 8) + 1 / t_2 \).
7. Шаг 7: По условию, совместная работа заняла 5 часов, значит, \( P_{совместн} = 1 / 5 \) котлована в час.
8. Шаг 8: Составляем уравнение:
   \( 1 / (t_2 - 8) + 1 / t_2 = 1 / 5 \).
9. Шаг 9: Приводим к общему знаменателю \( 5 t_2 (t_2 - 8) \):
   \( 5 t_2 + 5 (t_2 - 8) = t_2 (t_2 - 8) \)
   \( 5 t_2 + 5 t_2 - 40 = t_2^2 - 8 t_2 \)
   \( 10 t_2 - 40 = t_2^2 - 8 t_2 \).
10. Шаг 10: Переносим все в одну сторону и получаем квадратное уравнение:
    \( t_2^2 - 8 t_2 - 10 t_2 + 40 = 0 \)
    \( t_2^2 - 18 t_2 + 40 = 0 \).
11. Шаг 11: Решаем квадратное уравнение через дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):
    \( D = (-18)^2 - 4 · 1 · 40 = 324 - 160 = 164 \).
    \( √{D} ≈ 12.8 \).
12. Шаг 12: Находим корни уравнения:
    \( t_{2,1} = (18 + √{164}) / 2 ≈ (18 + 12.8) / 2 = 30.8 / 2 = 15.4 \) часов.
    \( t_{2,2} = (18 - √{164}) / 2 ≈ (18 - 12.8) / 2 = 5.2 / 2 = 2.6 \) часов.
13. Шаг 13: Проверяем, какой корень подходит. Если \(t_2 = 2.6\) часов, то \(t_1 = 2.6 - 8 = -5.4\), что невозможно.
    Если \(t_2 = 15.4\) часов, то \(t_1 = 15.4 - 8 = 7.4\) часов. Оба времени положительны.
14. Шаг 14: Подставляем значения \(t_1 = 7.4\) и \(t_2 = 15.4\) в уравнение производительности:
    \( 1 / 7.4 + 1 / 15.4 ≈ 0.135 + 0.065 = 0.2 \).
    \( 1 / 5 = 0.2 \). Равенство выполняется.

Ответ: Второй экскаватор выроет котлован один за приблизительно 15.4 часа.