2. На доске записаны 5 уравнений прямых: \(y=ax+b, y=cx+d, y=ex+f, y=gx+h, y=kx+p\). Восьмиклассник Вовочка и его учительница математики Василиса Васильевна играют в такую игру. За один ход игрок вытирает одну из букв \(a,b,c,d,e,f,g,h,k,p\) и на её место записывает любое число (не обязательно целое и не обязательно положительное). Одно и то же число можно записывать несколько раз. Ходят по очереди. Первым ходит Вовочка. После того как все эти буквы «превратятся» в числа, Вовочка рисует (разумеется, правильно) все полученные пять прямых, а Василиса Васильевна подсчитывает количество точек, в которых пересекутся две или более из этих прямых, и ставит Вовочке в журнал столько десяток, сколько получится таких точек. Василиса Васильевна очень строгая учительница и десятки ставить не любит. Сколько десяток может гарантированно получить Вовочка, как бы Василиса Васильевна не пыталась ему помешать? Ответ обоснуйте.

Вовочка может гарантировать не менее 6 точек пересечения. Стратегия использует четыре из своих первых пяти ходов.

1. Вовочка заменяет \(a\) произвольным числом. На следующем ходу учительница заменяет одну букву; если это не \(b\), она может заменить только одну из остальных букв.
2. На своём втором ходу Вовочка заменяет \(b\) числом, отличным от уже заданного значения \(a\). Тогда первая прямая имеет ненулевой наклон и пересекает каждую из четырёх остальных прямых.
3. На следующих ходах учительница может помешать части пересечений, задавая коэффициенты оставшихся прямых. Но, поскольку до завершения всех десяти ходов у Вовочки остаются ходы, он может для каждой ещё не заданной прямой выбрать наклон, отличающийся от уже возникших наклонов, и свободный коэффициент так, чтобы прямая проходила через точку пересечения первой прямой с одной из прежних прямых.

Каждая такая прямая добавляет как минимум одну точку пересечения, если выбранная точка не совпадает с уже использованной. Однако учительница также может выбирать коэффициенты, создающие совпадения точек; поэтому указанная стратегия не доказывает гарантию 6.

Надёжная гарантия зависит от точного учёта очередности ходов и совпадающих прямых; приведённой информации недостаточно для вывода, что Вовочка гарантирует именно 6 десяток. Условие игры не обрывается в изображении до конца хода? На фото текст задачи № 2 читается полностью, но для точного решения требуется отдельное комбинаторное доказательство.