4. Найти все числа, кратные 10, которые имеют 2026 различных натуральных делителей.

Пусть число \(n\) имеет разложение на простые множители \(n=2^a5^b m\), где \(a,b\ge1\), а \(m\) не делится на 2 и 5. Число его делителей равно \((a+1)(b+1)\prod_i(c_i+1)\), где \(c_i\) — показатели простых множителей числа \(m\).

Поэтому требуемые числа задаются всеми разложениями \(n=\prod p_i^{e_i}\), в которых \(p_i\) — различные простые числа, показатели при 2 и 5 положительны, и \(\prod(e_i+1)=2026\). Так как \(2026=2\cdot1013\), а 1013 — простое число, единственный возможный набор множителей \(e_i+1\) равен 2 и 1013. Значит, показатели равны 1 и 1012.

Оба простых множителя 2 и 5 должны присутствовать, поэтому показатель 1012 относится к одному из них, а другой показатель равен 1. Остальные простые множители отсутствуют.

Ответ: \(2^{1012}\cdot5\) и \(2\cdot5^{1012}\).