3. Внутри треугольника \(ABC\) выбрана точка \(K\). Точка \(X\) симметрична точке \(K\) относительно середины стороны \(BC\). Точка \(Y\) симметрична точке \(K\) относительно середины стороны \(AC\). Точка \(Z\) симметрична точке \(K\) относительно середины стороны \(AB\). Найти периметр шестиугольника \(AZBXCY\), если сумма расстояний от точки \(K\) до вершин \(A, B\) и \(C\) равна 15 см.

Обозначим середины сторон \(BC, AC, AB\) через \(M,N,P\). По условию \(M\) — середина \(KX\), поэтому диагонали четырёхугольника \(BKCK?\) не нужны: используем непосредственно векторы.

Так как \(X= B+C-K\), то \(BX=|C-K|=KC\) и \(XC=|B-K|=KB\). Аналогично, поскольку \(Y=A+C-K\), получаем \(CY=KA\) и \(YA=KC\). А из \(Z=A+B-K\) следует \(AZ=KB\) и \(ZB=KA\).

Следовательно, периметр шестиугольника \(AZBXCY\) равен \(AZ+ZB+BX+XC+CY+YA=2(KA+KB+KC)\).

Подставляем сумму из условия: \(P=2\cdot15=30\) см.

Ответ: 30 см.