2. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 нарисован треугольник АВС. Найдите сумму углов АВС и АСВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Треугольник ABC нарисован на клетчатой бумаге. Определим координаты вершин, предполагая, что нижняя левая вершина сетки - начало координат (0,0):

• A: (0, 1)
• B: (2, 5)
• C: (4, 0)

Найдем длины сторон:

• AB = √((2-0)² + (5-1)²) = √(4 + 16) = √(20)
• BC = √((4-2)² + (0-5)²) = √(4 + 25) = √(29)
• AC = √((4-0)² + (0-1)²) = √(16 + 1) = √(17)

Используем теорему косинусов для нахождения углов:

Угол ABC (угол B):

AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos(B)

17 = 20 + 29 - 2 * √(20) * √(29) * cos(B)

17 = 49 - 2 * √(580) * cos(B)

2 * √(580) * cos(B) = 32

cos(B) = 32 / (2 * √(580)) = 16 / √(580) ≈ 0.664

B ≈ arccos(0.664) ≈ 48.37°

Угол ACB (угол C):

AB² = AC² + BC² - 2 * AC * BC * cos(C)

20 = 17 + 29 - 2 * √(17) * √(29) * cos(C)

20 = 46 - 2 * √(493) * cos(C)

2 * √(493) * cos(C) = 26

cos(C) = 26 / (2 * √(493)) = 13 / √(493) ≈ 0.586

C ≈ arccos(0.586) ≈ 54.12°

Сумма углов ABC и ACB:

48.37° + 54.12° = 102.49°

Примечание: Можно также воспользоваться тем, что сумма углов треугольника равна 180°. Если найти угол А, то сумма углов B и C будет 180° - A.

Ответ: 102.49