2 На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 отмечены точки А, В и С. Найдите сумму углов АВС и САВ. Отве градусах.

Чтобы найти сумму углов ∠ABC и ∠CAB, нужно:

1. Определить координаты точек А, В и С. На рисунке видно, что:
   • А = (2, 1)
   • В = (1, 3)
   • С = (4, 3)
2. Найти угол ∠ABC. Для этого можно воспользоваться вектором BA и BC или построить прямоугольный треугольник, опустив перпендикуляр из B на прямую, проходящую через A.
   • Вектор BA = (2-1, 1-3) = (1, -2)
   • Вектор BC = (4-1, 3-3) = (3, 0)
   • Используем формулу для косинуса угла между векторами:

     cos(∠ABC) = (BA · BC) / (|BA| · |BC|)

     BA · BC = 1*3 + (-2)*0 = 3

     |BA| = sqrt(1^2 + (-2)^2) = sqrt(1 + 4) = sqrt(5)

     |BC| = sqrt(3^2 + 0^2) = sqrt(9) = 3

     cos(∠ABC) = 3 / (sqrt(5) * 3) = 1 / sqrt(5)

     ∠ABC = arccos(1 / sqrt(5)) ≈ 63.4°

3. Найти угол ∠CAB. Аналогично:
   • Вектор AC = (4-2, 3-1) = (2, 2)
   • Вектор AB = (1-2, 3-1) = (-1, 2)
   • cos(∠CAB) = (AC · AB) / (|AC| · |AB|)

     AC · AB = 2*(-1) + 2*2 = -2 + 4 = 2

     |AC| = sqrt(2^2 + 2^2) = sqrt(4 + 4) = sqrt(8) = 2*sqrt(2)

     |AB| = sqrt((-1)^2 + 2^2) = sqrt(1 + 4) = sqrt(5)

     cos(∠CAB) = 2 / (2*sqrt(2) * sqrt(5)) = 1 / sqrt(10)

     ∠CAB = arccos(1 / sqrt(10)) ≈ 71.6°

4. Найти сумму углов:

   ∠ABC + ∠CAB ≈ 63.4° + 71.6° = 135°

Ответ: 135