№2. На рис. 53 три прямые пересекаются в точке O, ∠AOB = 20°, ∠A₁OC = 140°. Найдите ∠B₁OC₁, ∠AOB₁.

Так как OA и OA₁ — противоположные лучи, а OB и OB₁ — противоположные лучи, вертикальные углы равны: ∠AOB₁ = ∠A₁OB = 180° − 20° = 160°.

Углы ∠A₁OC и ∠AOC₁ — вертикальные, поэтому ∠AOC₁ = 140°. Луч OB₁ лежит внутри угла AOC₁, значит ∠B₁OC₁ = ∠AOC₁ − ∠AOB₁ = 140° − 20° = 120°? Проверим порядок лучей по рисунку: от OA (нижний левый) до OB₁ (правый) угол составляет 160°, а от OB₁ до OC₁ (нижний правый) — 40°? По прямой A–A₁ сумма последовательных углов ∠AOB + ∠BOC + ∠COA₁ = 180°, поэтому 20° + ∠BOC + 140° = 180°, откуда ∠BOC = 20°. Следовательно, вертикальный ему ∠B₁OC₁ = 20°.

Кроме того, ∠AOB₁ — смежный с ∠AOB, поэтому ∠AOB₁ = 180° − 20° = 160°.

Ответ: ∠B₁OC₁ = 20°, ∠AOB₁ = 160°.