2. На рисунке 2 хорды AB и BC равны. Радиус окружности с центром O равен 4 см. Найдите длину AB, если треугольник ABD равносторонний.

Так как треугольник ABD равносторонний, его стороны равны: AB = BD = AD.

Равные хорды AB и BC стягивают равные центральные углы, поэтому при расположении точек на окружности, показанном на рисунке, центральный угол BOC равен углу AOB. Поскольку A, O и D лежат на одной прямой, ∠AOD = 180°. Следовательно, ∠AOB + ∠BOD = 180°. Из рисунка и равенства хорд следует, что дуги AB и BC равны; значит, ∠AOB = ∠BOC. В треугольнике BOC радиусы OB и OC равны, но этих данных недостаточно, чтобы определить центральный угол AOB или длину хорды AB однозначно: положение C относительно D не задано метрически.

Если дополнительно предположить, что точки A, B, C, D расположены на окружности последовательно, как показано, и равносторонний треугольник ABD имеет вершину D на диаметре AD, то ∠ABD = 60°. Вписанный угол ABD стягивает дугу AD, поэтому дуга AD равна 120°. Тогда оставшаяся дуга BD, не содержащая A, также зависит от расположения B; для однозначного вычисления хорды необходима точная связь между C и D, например указание, что CD — диаметр, либо соответствующее равенство углов.

Ответ: по указанным данным длина AB однозначно не определяется; требуется дополнительное условие о расположении или связи точек C и D.