№ 2. На рисунке хорды AB, BC, AE равны радиусу окружности с центром в точке O. Периметр четырёхугольника ABCE равен 60 см. Найдите длину диаметра окружности.

По условию хорды AB, BC и AE равны радиусу окружности. Обозначим радиус через r. Тогда AB = BC = AE = r.

Периметр четырёхугольника: AB + BC + CE + EA = 60, поэтому 3r + CE = 60.

Хорда BC равна радиусу, значит центральный угол, опирающийся на неё, равен 60°. Аналогично, хорда AE равна радиусу, и соответствующий центральный угол также равен 60°. Эти хорды лежат по одну сторону от хорды CE, поэтому дуга CE, проходящая через B и A, составляет 120° + 120° = 240°. Меньшая дуга CE равна 120°, следовательно, центральный угол COE равен 120°.

Треугольник COE равнобедренный, а угол при вершине равен 120°. Поэтому CE = 2r·sin 60° = √3r.

Подставляем в периметр: 3r + √3r = 60, откуда r = 60/(3 + √3) = 10(3 − √3) см.

Диаметр равен 2r = 20(3 − √3) см.

Ответ: 20(3 − √3) см.