2 На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Решение:

Производная функции \( f'(x_0) \) в точке \( x_0 \) равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс.

По графику определим координаты двух точек, через которые проходит касательная. Из рисунка видно, что касательная проходит через точки \( (x_0, y) \) и \( (x_0 - 1, y+2) \), а также через точки \( (0, 2) \) и \( (2, 0) \).

Найдем угловой коэффициент касательной, используя две точки \( (0, 2) \) и \( (2, 0) \):

\( k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 2}{2 - 0} = \frac{-2}{2} = -1 \).

Таким образом, значение производной функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \) равно угловому коэффициенту касательной.

\( f'(x_0) = k = -1 \).

Ответ: -1