2. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции y=f(x) в точке x₀.

Решение:

Геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке, с положительным направлением оси Ox.

На графике изображена касательная, проходящая через точки \( (-3, -4) \) и \( (1, 2) \). Найдем её угловой коэффициент (тангенс угла наклона).

\( k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

Подставим координаты точек:

\( k = \frac{2 - (-4)}{1 - (-3)} = \frac{2 + 4}{1 + 3} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5 \)

Производная функции \( y=f(x) \) в точке \( x_0 \) равна коэффициенту наклона касательной. Следовательно, \( f'(x_0) = k \).

\( f'(x_0) = 1.5 \)

Ответ: 1.5