6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = -4x + x² и осью Ox.

Решение:

Фигура ограничена параболой \( y = x^2 - 4x \) и осью Ox ( \( y = 0 \)).

Чтобы найти площадь, нужно определить точки пересечения параболы с осью Ox. Для этого приравняем \( y \) к нулю:

\( x^2 - 4x = 0 \)

Вынесем \( x \) за скобки:

\( x(x - 4) = 0 \)

Отсюда получаем две точки пересечения: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 4 \).

Парабола \( y = x^2 - 4x \) имеет ветви, направленные вверх (так как коэффициент при \( x^2 \) положителен). Вершина параболы находится в точке \( x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \). Значение \( y \) в вершине: \( y(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 \).

Таким образом, на отрезке [0; 4] парабола находится ниже оси Ox.

Площадь фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла:

\( S = \int_{0}^{4} (0 - (x^2 - 4x)) dx \)

\( S = \int_{0}^{4} (-x^2 + 4x) dx \)

Вычислим интеграл:

\( S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} \right]_{0}^{4} \)

\( S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 \right]_{0}^{4} \)

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

\( S = \left( -\frac{4^3}{3} + 2 \cdot 4^2 \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + 2 \cdot 0^2 \right) \)

\( S = \left( -\frac{64}{3} + 2 \cdot 16 \right) - 0 \)

\( S = -\frac{64}{3} + 32 \)

\( S = -\frac{64}{3} + \frac{96}{3} \)

\( S = \frac{32}{3} \)

Ответ: \(\frac{32}{3}\)