3. Найти наименьшее значение функции y = x³ - 48x + 17 на отрезке [0; 4]

Решение:

Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, нужно найти значения функции в критических точках (где производная равна нулю или не существует) и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции:

\( y' = (x^3 - 48x + 17)' = 3x^2 - 48 \)

1. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:

\( 3x^2 - 48 = 0 \)

\( 3x^2 = 48 \)

\( x^2 = 16 \)

\( x = \pm 4 \)

1. Критическая точка \( x = 4 \) принадлежит отрезку [0; 4]. Точка \( x = -4 \) не принадлежит отрезку.
2. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке, принадлежащей отрезку:

\( y(0) = 0^3 - 48 \cdot 0 + 17 = 17 \)

\( y(4) = 4^3 - 48 \cdot 4 + 17 = 64 - 192 + 17 = 81 - 192 = -111 \)

1. Сравним полученные значения: 17 и -111. Наименьшее значение равно -111.

Ответ: -111