2. На середине ребра ВС тетраэдра DABС лежит точка Т, а на середине отрезка DT – точка Н. Выразите вектор АН через векторы АВ = a, AC = b, AD = c.

Решение:

1. Вектор AT:

Так как T — середина BC, то \( \vec{AT} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) \). По условию, \( \vec{AB} = \vec{a} \) и \( \vec{AC} = \vec{b} \). Следовательно, \( \vec{AT} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) \).

2. Вектор AH:

H — середина DT. Вектор AH можно найти как среднее арифметическое векторов AD и AT, если бы H была серединой DT в треугольнике ADT. Но H — середина DT, поэтому:

\[ \vec{AH} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{AT}) \]

Подставляем известные векторы:

\[ \vec{AH} = \frac{1}{2}(\vec{c} + \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})) \]

\[ \vec{AH} = \frac{1}{2}\vec{c} + \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} \]

Перепишем в порядке a, b, c:

\[ \vec{AH} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c} \]

Ответ: \( \vec{AH} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c} \)