4. Точка К лежит на ребре ВВ1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 так, что ВК : KB₁ = 3 : 4, а N ∈ D1B1, причем D₁N : NB₁ = 1 : 2. Разложите вектор KN по векторам ВА, ВС и ВВ1.

Решение:

Обозначим векторы ребер параллелепипеда: \( \vec{BA} = \vec{a} \), \( \vec{BC} = \vec{b} \), \( \vec{BB_1} = \vec{c} \).

1. Положение точки K:

Точка K лежит на ребре BB1, и \( BK : KB_1 = 3 : 4 \). Это означает, что вектор \( \vec{BK} \) составляет \( \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7} \) от вектора \( \vec{BB_1} \).

\[ \vec{BK} = \frac{3}{7} \vec{BB_1} = \frac{3}{7} \vec{c} \]

2. Положение точки N:

Точка N лежит на ребре D1B1. Вектор \( \vec{D_1N} \) относится к вектору \( \vec{D_1B_1} \) как 1 : (1+2) = 1 : 3.

\[ \vec{D_1N} = \frac{1}{3} \vec{D_1B_1} \]

В параллелепипеде \( \vec{D_1B_1} = \vec{AB} = \vec{a} \). Следовательно,

\[ \vec{D_1N} = \frac{1}{3} \vec{a} \]

Нам нужно выразить \( \vec{KN} \) через \( \vec{BA} \), \( \vec{BC} \) и \( \vec{BB_1} \).

Вектор \( \vec{KN} \) можно представить как \( \vec{KB} + \vec{BD_1} + \vec{D_1N} \).

Мы знаем \( \vec{BK} = \frac{3}{7} \vec{c} \), значит \( \vec{KB} = -\frac{3}{7} \vec{c} \).

Теперь найдем \( \vec{BD_1} \). Вектор \( \vec{BD_1} = \vec{BA} + \vec{AD_1} \).

В параллелепипеде \( \vec{AD_1} = \vec{BC} = \vec{b} \).

Поэтому \( \vec{BD_1} = \vec{BA} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b} \).

Теперь можем найти \( \vec{KN} \):

\[ \vec{KN} = \vec{KB} + \vec{BD_1} + \vec{D_1N} \]

\[ \vec{KN} = -\frac{3}{7} \vec{c} + (\vec{a} + \vec{b}) + \frac{1}{3} \vec{a} \]

Сгруппируем векторы \( \vec{a} \), \( \vec{b} \) и \( \vec{c} \):

\[ \vec{KN} = \left( 1 + \frac{1}{3} \right) \vec{a} + \vec{b} - \frac{3}{7} \vec{c} \]

\[ \vec{KN} = \frac{4}{3} \vec{a} + \vec{b} - \frac{3}{7} \vec{c} \]

Ответ: \( \vec{KN} = \frac{4}{3}\vec{a} + \vec{b} - \frac{3}{7}\vec{c} \)