3. R - точка пересечения медиан треугольника SPQ, М – середина отрезка FR (точка F не лежит в плоскости SPQ). Разложите вектор SM по векторам FS = a, FP=b, FQ=c.

Решение:

1. Положение точки R:

R - точка пересечения медиан треугольника SPQ. Вектор \( \vec{FR} \) можно выразить через \( \vec{FS} \), \( \vec{FP} \) и \( \vec{FQ} \).

Так как R - точка пересечения медиан, то \( \vec{FR} = \frac{1}{3}(\vec{FS} + \vec{FP} + \vec{FQ}) \).

По условию, \( \vec{FS} = \vec{a} \), \( \vec{FP} = \vec{b} \), \( \vec{FQ} = \vec{c} \). Следовательно,

\[ \vec{FR} = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \]

2. Вектор SM:

M - середина отрезка FR. Нам нужно найти вектор \( \vec{SM} \).

Вектор \( \vec{SM} \) можно представить как разность векторов \( \vec{FM} - \vec{FS} \).

Так как M - середина FR, то \( \vec{FM} = \frac{1}{2}\vec{FR} \).

\[ \vec{FM} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \right) = \frac{1}{6}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \]

Теперь найдем \( \vec{SM} \):

\[ \vec{SM} = \vec{FM} - \vec{FS} = \frac{1}{6}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - \vec{a} \]

\[ \vec{SM} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c} - \vec{a} \]

\[ \vec{SM} = \left( \frac{1}{6} - 1 \right)\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c} \]

\[ \vec{SM} = -\frac{5}{6}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c} \]

Ответ: \( \vec{SM} = -\frac{5}{6}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c} \)