4*. В треугольнике MNK O — точка пересечения медиан, \(\overrightarrow{MN}=\vec x\); \(\overrightarrow{MK}=\vec y\), \(\overrightarrow{MO}=k\cdot(\vec x+\vec y)\):

Условие обрывается после двоеточия, поэтому неизвестно, что требуется найти или доказать. Из имеющихся данных можно определить коэффициент \(k\).

Поскольку O — точка пересечения медиан, это центр тяжести треугольника. Если взять M за начало отсчёта, радиус-векторы вершин равны \(0\), \(\vec x\) и \(\vec y\). Следовательно, радиус-вектор центра тяжести равен их среднему: \(\overrightarrow{MO}=\frac{0+\vec x+\vec y}{3}=\frac13(\vec x+\vec y)\). Значит, \(k=\frac13\).

Для завершения пункта пришлите его продолжение, начинающееся после двоеточия.

Ответ: \(k=\frac13\).