2. На стороне \(CD\) параллелограмма \(ABCD\) отмечена точка \(M\) так, что \(DM=MC\). Точка \(O\) — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\overrightarrow{BO}\), \(\overrightarrow{AM}\), \(\overrightarrow{MB}\) через векторы \(\vec a=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec b=\overrightarrow{AD}\).

Положим начало в точке \(A\). Тогда \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{AD}=\vec b\), а \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\).

1. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(\overrightarrow{AO}=\frac12(\vec a+\vec b)\). Следовательно, \(\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AB}=\frac12(\vec b-\vec a)\).

2. Так как \(M\) — середина \(CD\), а \(\overrightarrow{DC}=\vec a\), имеем \(\overrightarrow{DM}=\frac12\vec a\). Значит, \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}=\vec b+\frac12\vec a\).

3. \(\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}=\vec a-(\vec b+\frac12\vec a)=\frac12\vec a-\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec b-\vec a)\), \(\overrightarrow{AM}=\frac12\vec a+\vec b\), \(\overrightarrow{MB}=\frac12\vec a-\vec b\).