2. На стороне CD прямоугольника ABCD лежит точка K так, что CK = KD. Точка O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\overrightarrow{AO}\), \(\overrightarrow{BK}\), \(\overrightarrow{KA}\) через векторы \(\vec x=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec y=\overrightarrow{AD}\).

Пусть \(A\) — начало отсчёта. Тогда радиус-векторы вершин: \(B=\vec x\), \(D=\vec y\), \(C=\vec x+\vec y\).

1. Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(\overrightarrow{AO}=\frac12\overrightarrow{AC}=\frac12(\vec x+\vec y)\).
2. Так как \(CK=KD\), точка \(K\) — середина \(CD\). Следовательно, её радиус-вектор равен \(\frac{(\vec x+\vec y)+\vec y}{2}=\frac12\vec x+\vec y\). Поэтому \(\overrightarrow{BK}=\left(\frac12\vec x+\vec y\right)-\vec x=-\frac12\vec x+\vec y\).
3. \(\overrightarrow{KA}=\vec 0-\left(\frac12\vec x+\vec y\right)=-\frac12\vec x-\vec y\).

Ответ: \(\overrightarrow{AO}=\frac12(\vec x+\vec y)\), \(\overrightarrow{BK}=-\frac12\vec x+\vec y\), \(\overrightarrow{KA}=-\frac12\vec x-\vec y\).