4*. В треугольнике PQR точка O является точкой пересечения медиан. \(\overrightarrow{PQ}=\vec x\), \(\overrightarrow{PR}=\vec y\), \(\overrightarrow{PO}=k(\vec x+\vec y)\). Найдите число k.

Пусть \(M\) — середина \(QR\). Тогда \(\overrightarrow{PM}=\frac12(\vec x+\vec y)\), поскольку \(\overrightarrow{PQ}=\vec x\) и \(\overrightarrow{PR}=\vec y\).

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. Поэтому \(\overrightarrow{PO}=\frac23\overrightarrow{PM}=\frac23\cdot\frac12(\vec x+\vec y)=\frac13(\vec x+\vec y)\).

Сравнивая с условием \(\overrightarrow{PO}=k(\vec x+\vec y)\), получаем \(k=\frac13\).

Ответ: \(k=\frac13\).