№ 2. На стороне \(CD\) ромба \(ABCD\) лежит точка \(M\) так, что \(CM=MD\), \(O\) — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\overrightarrow{BO}\), \(\overrightarrow{AM}\), \(\overrightarrow{MC}\) через векторы \(\vec a=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec b=\overrightarrow{AD}\).

В ромбе \(ABCD\): \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{AD}=\vec b\), поэтому \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\).

Точка \(O\) — середина диагонали \(AC\), значит:

\[\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}(\vec a+\vec b).\]

Тогда:

\[\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AO}=-\vec a+\frac{1}{2}(\vec a+\vec b)=\frac{1}{2}(\vec b-\vec a).\]

Так как \(CM=MD\), точка \(M\) — середина отрезка \(CD\). Следовательно, \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}=\vec b+\frac{1}{2}\vec a\).

Кроме того, \(\overrightarrow{DC}=\vec a\), поэтому:

\[\overrightarrow{MC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}\vec a.\]

Ответ: \(\overrightarrow{BO}=\frac{1}{2}(\vec b-\vec a)\), \(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\vec a+\vec b\), \(\overrightarrow{MC}=\frac{1}{2}\vec a\).