№ 4*. В треугольнике \(ABC\) точка \(M\) — точка пересечения медиан. Выразите вектор \(\overrightarrow{CM}\) через векторы \(\vec a=\overrightarrow{CA}\) и \(\vec b=\overrightarrow{CB}\).

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины.

Пусть \(N\) — середина стороны \(AB\). Тогда:

\[\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)=\frac{1}{2}(\vec a+\vec b).\]

Так как \(CM:MN=2:1\), то \(\overrightarrow{CM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CN}\). Следовательно:

\[\overrightarrow{CM}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}(\vec a+\vec b)=\frac{1}{3}(\vec a+\vec b).\]

Ответ: \(\overrightarrow{CM}=\frac{1}{3}(\vec a+\vec b)\).