2. На стороне СД квадрата АВСД лежит точка Р так, что СР = РД, точка О — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы ВО, ВР, РА через векторы x = ВА и y = ВС.

Положим вершину B за начало отсчёта. Тогда \(\overrightarrow{BA}=\vec x\), \(\overrightarrow{BC}=\vec y\), а для квадрата \(\overrightarrow{BD}=\vec x+\vec y\).

Так как O — середина диагонали BD, \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y)\).

Точка P — середина CD. При этом \(\overrightarrow{BC}=\vec y\), а \(\overrightarrow{CD}=\vec x\), поэтому \(\overrightarrow{CP}=\frac12\vec x\). Следовательно, \(\overrightarrow{BP}=\vec y+\frac12\vec x\).

Наконец, \(\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BP}=\vec x-(\vec y+\frac12\vec x)=\frac12\vec x-\vec y\).

Ответ: \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y)\), \(\overrightarrow{BP}=\frac12\vec x+\vec y\), \(\overrightarrow{PA}=\frac12\vec x-\vec y\).