2. Начертите параллелограмм ABCD. Через точку пересечения его диагоналей проведите прямую, пересекающую сторону AD в точке M, а сторону BC — в точке K. Рассмотрите векторы \(\overrightarrow{KC}\), \(\overrightarrow{AM}\), \(\overrightarrow{BK}\) и \(\overrightarrow{DM}\). Среди указанных векторов выберите все пары: 1) коллинеарных векторов; 2) сонаправленных векторов; 3) противоположно направленных векторов; 4) векторов, имеющих равные модули; 5) равных векторов.

Пусть диагонали пересекаются в точке \(O\). Возьмём координаты \(A=(0,0)\), \(B=(1,0)\), \(D=(u,v)\), тогда \(C=(1+u,v)\), а \(O=((1+u)/2,v/2)\). Прямая через \(O\) пересекает \(AD\) в \(M=tD\); поскольку она проходит через середину параллелограмма, её пересечение с противоположной стороной имеет вид \(K=B+tD\). Следовательно, \(\overrightarrow{AM}=tD\), \(\overrightarrow{BK}=tD\), \(\overrightarrow{KC}=(1-t)D\), \(\overrightarrow{DM}=(t-1)D\).

Все четыре вектора параллельны одной прямой. При обычном положении, когда точки M и K лежат на отрезках AD и BC, соответственно, \(0<t<1\): первые три вектора сонаправлены, а \(\overrightarrow{DM}\) направлен противоположно. Модули \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{BK}\) равны; также равны модули \(\overrightarrow{KC}\) и \(\overrightarrow{DM}\). При этом \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BK}\).

1) Коллинеарные: все пары среди \(\overrightarrow{KC},\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BK},\overrightarrow{DM}\).
2) Сонаправленные: \((\overrightarrow{KC},\overrightarrow{AM})\), \((\overrightarrow{KC},\overrightarrow{BK})\), \((\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BK})\).
3) Противоположно направленные: \((\overrightarrow{KC},\overrightarrow{DM})\), \((\overrightarrow{AM},\overrightarrow{DM})\), \((\overrightarrow{BK},\overrightarrow{DM})\).
4) Равные модули: \((\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BK})\), \((\overrightarrow{KC},\overrightarrow{DM})\).
5) Равные векторы: \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BK}\).

Равенство модулей векторов \(\overrightarrow{KC}\) и \(\overrightarrow{DM}\) следует из того, что они противоположно направлены и имеют одинаковую длину вдоль параллельных сторон. Если M или K совпадает с вершиной, некоторые векторы могут стать нулевыми; тогда их направление не определено.