2. Найдите градусную меру ∠MON, если известно, NP — диаметр, а градусная мера ∠MNP равна 18°.

Решение:

Так как \( NP \) — диаметр, то \( \angle MNP \) — вписанный угол, опирающийся на полуокружность. Следовательно, \( \angle MNP = 18^{\circ} \) — это условие задачи.

Угол \( MNP \) опирается на дугу \( MP \). Градусная мера дуги \( MP \) равна удвоенной мере вписанного угла, опирающегося на неё: \( m \stackrel{\frown}{MP} = 2 \cdot \angle MNP = 2 \cdot 18^{\circ} = 36^{\circ} \).

Угол \( MON \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( MN \). Нам нужно найти \( \angle MON \).

В условии есть опечатка. Предполагая, что дана градусная мера дуги \( MN \), а не \( MNP \), решим задачу.

Если \( m \stackrel{\frown}{MN} \) равна некоторой величине, то \( \angle MON = m \stackrel{\frown}{MN} \).

Предполагаем, что в условии имеется в виду, что градусная мера дуги \( MP \) равна \( 18^{\circ} \) (что некорректно, так как \( \angle MNP \) опирается на дугу \( MP \)), или что \( \angle NMP = 18^{\circ} \).

Вариант 1: Если \( \angle NMP = 18^{\circ} \).

Угол \( NMP \) опирается на дугу \( NP \). Дуга \( NP \) — это полуокружность, \( 180^{\circ} \).

Вариант 2: Если \( \angle MNP = 18^{\circ} \) (как в условии)

Угол \( MNP \) опирается на дугу \( MP \). Следовательно, \( m \stackrel{\frown}{MP} = 2 \cdot 18^{\circ} = 36^{\circ} \).

Так как \( NP \) — диаметр, то \( m \stackrel{\frown}{NMP} = 180^{\circ} \).

\( m \stackrel{\frown}{MN} + m \stackrel{\frown}{MP} = m \stackrel{\frown}{NMP} \) (если \( M \) находится между \( N \) и \( P \) на полуокружности).

\( m \stackrel{\frown}{MN} + 36^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( m \stackrel{\frown}{MN} = 180^{\circ} - 36^{\circ} = 144^{\circ} \).

Центральный угол \( \angle MON \) равен градусной мере дуги \( MN \).

\( \angle MON = m \stackrel{\frown}{MN} = 144^{\circ} \).

Ответ: 144°.