3. Найдите ∠DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно.

Решение:

Угол \( DEF \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( DF \).

Градусная мера дуги \( DF \) равна сумме градусных мер дуг \( DE \) и \( EF \), так как точка \( E \) находится между \( D \) и \( F \) на дуге, которую опирает угол \( DEF \) (или наоборот, \( D \) между \( E \) и \( F \), или \( F \) между \( D \) и \( E \) — в зависимости от расположения точек, но угол \( DEF \) всегда опирается на дугу \( DF \)).

\( m \stackrel{\frown}{DF} = m \stackrel{\frown}{DE} + m \stackrel{\frown}{EF} \).

Дано: \( m \stackrel{\frown}{DE} = 150^{\circ} \) и \( m \stackrel{\frown}{EF} = 68^{\circ} \).

\( m \stackrel{\frown}{DF} = 150^{\circ} + 68^{\circ} = 218^{\circ} \).

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

\( \angle DEF = \frac{1}{2} m \stackrel{\frown}{DF} = \frac{1}{2} \cdot 218^{\circ} = 109^{\circ} \).

Ответ: 109°.