2. Найдите корень уравнения log3(x²-6x)=log3(5-2x). В случае если уравнение имеет несколько корней, в ответе запишите их сумму.

Решение:

Уравнение имеет вид \( \log_3(x^2-6x) = \log_3(5-2x) \).

Поскольку основания логарифмов равны, приравниваем выражения под логарифмами:

\[ x^2 - 6x = 5 - 2x \]

Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - 6x + 2x - 5 = 0 \]

Упрощаем:

\[ x^2 - 4x - 5 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \]

Находим корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]
\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни области определения логарифма. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

1. Для \( x = 5 \):

\[ x^2 - 6x = 5^2 - 6 \cdot 5 = 25 - 30 = -5 \]
\( -5 \) не больше \( 0 \). Значит, \( x = 5 \) не является корнем уравнения.

2. Для \( x = -1 \):

\[ x^2 - 6x = (-1)^2 - 6 \cdot (-1) = 1 + 6 = 7 \]
\( 7 > 0 \). Проверяем второе выражение:

\[ 5 - 2x = 5 - 2 \cdot (-1) = 5 + 2 = 7 \]
\( 7 > 0 \). Значит, \( x = -1 \) является корнем уравнения.

Уравнение имеет один корень: \( -1 \).

Ответ: \( -1 \).