5. Решите уравнение sin 4x = 0. В ответе укажите сколько корней на отрезке [0;π].

Решение:

Уравнение \( \sin(4x) = 0 \) верно, когда аргумент синуса равен \( \pi n \), где \( n \) — целое число.

\( 4x = \pi n \)

Выразим \( x \):

\[ x = \frac{\pi n}{4} \]

Теперь найдём, сколько корней этого уравнения попадает на отрезок \( [0; \pi] \). Подставим значения \( n \) (целые числа) и проверим условие \( 0 \le x \le \pi \).

• Если \( n = 0 \): \( x = \frac{\pi \cdot 0}{4} = 0 \). \( 0 \in [0; \pi] \).
• Если \( n = 1 \): \( x = \frac{\pi \cdot 1}{4} = \frac{\pi}{4} \). \( \frac{\pi}{4} \in [0; \pi] \).
• Если \( n = 2 \): \( x = \frac{\pi \cdot 2}{4} = \frac{\pi}{2} \). \( \frac{\pi}{2} \in [0; \pi] \).
• Если \( n = 3 \): \( x = \frac{\pi \cdot 3}{4} = \frac{3\pi}{4} \). \( \frac{3\pi}{4} \in [0; \pi] \).
• Если \( n = 4 \): \( x = \frac{\pi \cdot 4}{4} = \pi \). \( \pi \in [0; \pi] \).
• Если \( n = 5 \): \( x = \frac{\pi \cdot 5}{4} = \frac{5\pi}{4} \). \( \frac{5\pi}{4} > \pi \).

Для отрицательных значений \( n \) значения \( x \) будут меньше 0, что выходит за пределы отрезка.

Таким образом, на отрезке \( [0; \pi] \) находятся следующие корни: \( 0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \pi \).

Всего 5 корней.

Ответ: 5.