2. Найдите корни уравнения \(\dfrac{x^3-2x^2-9x+18}{x^2-4}=0\). Решите уравнение методом введения новой переменной: \((x^2-2x)(x^2-2x-7)=8\).

Первое уравнение. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

\(x^3-2x^2-9x+18=x^2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x-3)(x+3)\).

Знаменатель \(x^2-4=(x-2)(x+2)\), поэтому \(x\ne2\) и \(x\ne-2\). Из нулей числителя \(-3, 2, 3\) значение \(2\) исключаем.

Второе уравнение. Введём новую переменную \(t=x^2-2x\). Тогда \(t(t-7)=8\), то есть \(t^2-7t-8=0\).

\((t-8)(t+1)=0\), поэтому \(t=8\) или \(t=-1\).

При \(t=8\): \(x^2-2x=8\), откуда \((x-4)(x+2)=0\), значит, \(x=4\) или \(x=-2\).

При \(t=-1\): \(x^2-2x=-1\), откуда \((x-1)^2=0\), значит, \(x=1\).

Ответ: корни первого уравнения — \(-3\) и \(3\); корни второго — \(-2, 1, 4\).