5. В правильной четырёхугольной пирамиде плоский угол при вершине равен а. Найдите объём пирамиды, если её высота равна һ.

Объём правильной четырёхугольной пирамиды вычисляется по формуле:

V = (1/3) * S_осн * h

Где h — высота пирамиды, которая дана и равна h. Нам нужно найти площадь основания (S_осн).

S_осн = a², где a — сторона основания.

В правильной четырёхугольной пирамиде все боковые рёбра равны, и все боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Вершина пирамиды проецируется в центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата).

Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя боковыми рёбрами и стороной основания. Плоский угол при вершине такого треугольника равен α.

Пусть вершина пирамиды — P, центр основания — O, а одна из вершин основания — A. Тогда PO = h — высота пирамиды. PA — боковое ребро. AO — половина диагонали квадрата основания.

Рассмотрим треугольник, образованный двумя смежными боковыми рёбрами (например, PA и PB) и стороной основания (AB). Этот треугольник является боковой гранью. Однако, условие «плоский угол при вершине равен α» обычно относится к углу между двумя боковыми рёбрами, выходящими из одной вершины, если это не угол в грани. Если это угол в боковой грани (например, угол при вершине равнобедренного треугольника боковой грани), то это одна задача. Если это угол между боковыми ребрами, то это другая.

Предположим, что α — это угол между двумя боковыми рёбрами, которые принадлежат одной грани (т.е. угол при вершине равнобедренного треугольника боковой грани). Давайте рассмотрим эту интерпретацию.

Пусть PA = PB = L — боковые рёбра. Тогда в треугольнике PAB, угол APB = α.

В прямоугольном треугольнике POA (где O — центр основания), PO = h, AO = d/2, где d — диагональ основания.

L² = h² + (d/2)²

Рассмотрим треугольник PAB. По теореме косинусов:

AB² = PA² + PB² - 2 * PA * PB * cos(α)

a² = L² + L² - 2 * L * L * cos(α)

a² = 2L² * (1 - cos(α))

a = L * √(2 * (1 - cos(α)))

Теперь нам нужно выразить L через h и α. Для этого нам понадобится угол между боковым ребром и плоскостью основания. Этот угол, ∠PAO, обозначим как γ.

tg(γ) = PO / AO = h / (d/2)

cos(γ) = AO / PA = (d/2) / L, следовательно L = (d/2) / cos(γ)

d = a√2, значит d/2 = a√2 / 2.

L = (a√2 / 2) / cos(γ)

Подставляем L в уравнение для a²:

a² = 2 * [(a√2 / 2) / cos(γ)]² * (1 - cos(α))

a² = 2 * [a² * 2 / (4 * cos²(γ))] * (1 - cos(α))

a² = [a² / cos²(γ)] * (1 - cos(α))

1 = (1 / cos²(γ)) * (1 - cos(α))

cos²(γ) = 1 - cos(α)

cos(γ) = √(1 - cos(α))

Теперь найдём AO через h и γ:

tg(γ) = h / AO, следовательно AO = h / tg(γ)

d/2 = h / tg(γ)

a√2 / 2 = h / tg(γ)

a = (2h / √2) / tg(γ) = h√2 / tg(γ)

a² = 2h² / tg²(γ)

Подставляем tg(γ) = sin(γ) / cos(γ):

a² = 2h² * cos²(γ) / sin²(γ)

Используем cos²(γ) = 1 - cos(α):

a² = 2h² * (1 - cos(α)) / sin²(γ)

Нам нужно найти sin²(γ). Мы знаем cos(γ) = √(1 - cos(α)).

sin²(γ) = 1 - cos²(γ) = 1 - (1 - cos(α)) = cos(α).

a² = 2h² * (1 - cos(α)) / cos(α)

a² = 2h² * (1/cos(α) - 1)

a² = 2h² * (sec(α) - 1)

Теперь площадь основания:

S_осн = a² = 2h² * (sec(α) - 1)

Объём пирамиды:

V = (1/3) * S_осн * h = (1/3) * [2h² * (sec(α) - 1)] * h

V = (2/3) * h³ * (sec(α) - 1)

Вторая интерпретация: Если α — это угол между высотой пирамиды h и боковым ребром L. То есть, ∠APO = α.

В прямоугольном треугольнике POA:

tg(α) = AO / PO = AO / h

AO = h * tg(α)

AO — это половина диагонали основания. Диагональ квадрата d = 2 * AO = 2h * tg(α).

Сторона квадрата основания a связана с диагональю соотношением d = a√2.

a√2 = 2h * tg(α)

a = (2h * tg(α)) / √2 = h√2 * tg(α)

Площадь основания:

S_осн = a² = (h√2 * tg(α))² = h² * 2 * tg²(α)

Теперь объём пирамиды:

V = (1/3) * S_осн * h = (1/3) * [2h² * tg²(α)] * h

V = (2/3) * h³ * tg²(α)

Эта вторая интерпретация выглядит более стандартной для задач такого типа. Обычно, когда говорят «плоский угол при вершине», имеют в виду угол между высотой и боковым ребром, или угол между боковыми ребрами, образующими грань. Если бы это был угол между смежными боковыми ребрами, было бы сказано «угол между боковыми рёбрами».

Будем считать, что α — это угол между высотой и боковым ребром.

Ответ: V = (2/3) * h³ * tg²(α)