№ 2. Найдите область определения функции: a) y = x^5 + 6x^3 - 11; б) y = (4x+1)/(3x^2-5x+2); в) y = \sqrt{6-4x}

Решение №2

Область определения функции — это все допустимые значения аргумента x, при которых функция имеет смысл.

1. А) y = x⁵ + 6x³ - 11
   • Это многочлен. Многочлены определены для всех действительных чисел.
2. Б) y = (4x+1)/(3x²-5x+2)
   • Это дробно-рациональная функция. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
   • Найдем корни квадратного трехчлена в знаменателе:
   • \[ 3x^2 - 5x + 2 = 0 \]
   • Дискриминант (D): \[ D = (-5)^2 - 4 \times 3 \times 2 = 25 - 24 = 1 \]
   • Корни: \[ x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \times 3} = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1 \]
   • \[ x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \times 3} = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
   • Значит, знаменатель равен нулю при x = 1 и x = 2/3.
   • Область определения: все действительные числа, кроме 1 и 2/3.
3. В) y = √(6-4x)
   • Это функция с квадратным корнем. Выражение под корнем должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).
   • \[ 6 - 4x \ge 0 \]
   • \[ -4x \ge -6 \]
   • \[ x \le \frac{-6}{-4} \]
   • \[ x \le \frac{3}{2} \]
   • Область определения: x ≤ 1.5.

Ответ:

• А) (-∞; +∞)
• Б) (-∞; 2/3) U (2/3; 1) U (1; +∞)
• В) (-∞; 1.5]