2. Найдите производную функции:

Решение:

Применим правила дифференцирования для каждой функции.

1. a) \( f(x) = 5^{3x-4} \)
• Это показательная функция. Производная \( (a^{u})' = a^u \cdot \ln(a) \cdot u' \).
• Здесь \( a = 5 \), \( u = 3x - 4 \).
• Производная показателя: \( u' = (3x - 4)' = 3 \).
• Найдём производную: \( f'(x) = 5^{3x-4} \cdot \ln(5) \cdot 3 = 3 \ln(5) \cdot 5^{3x-4} \).
2. б) \( f(x) = \sin(4x-7) \)
• Это композитная функция. Производная \( (\sin(u))' = \cos(u) \cdot u' \).
• Здесь \( u = 4x - 7 \).
• Производная показателя: \( u' = (4x - 7)' = 4 \).
• Найдём производную: \( f'(x) = \cos(4x-7) \cdot 4 = 4\cos(4x-7) \).
3. в) \( f(x) = 5x^3 - 4x^9 \)
• Применим правило степени: \( (x^n)' = nx^{n-1} \) и правило вычитания.
• Найдём производную: \( f'(x) = (5x^3)' - (4x^9)' = 5(3x^2) - 4(9x^8) = 15x^2 - 36x^8 \).

Ответ: а) \( 3\ln(5) \cdot 5^{3x-4} \); б) \( 4\cos(4x-7) \); в) \( 15x^2 - 36x^8 \).