4. Найти промежутки возрастания и убывания функции f(x) = x³ - 6x² + 5

Решение:

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нужно определить знаки её производной.

1. Найдём производную функции:
• \( f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 5)' = 3x^2 - 12x \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
• \( 3x^2 - 12x = 0 \)
• \( 3x(x - 4) = 0 \)
• Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 4 \).
3. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:
• Интервал \( (-\infty, 0) \): Возьмём \( x = -1 \). \( f'(-1) = 3(-1)^2 - 12(-1) = 3 + 12 = 15 \) (+). Функция возрастает.
• Интервал \( (0, 4) \): Возьмём \( x = 1 \). \( f'(1) = 3(1)^2 - 12(1) = 3 - 12 = -9 \) (-). Функция убывает.
• Интервал \( (4, +\infty) \): Возьмём \( x = 5 \). \( f'(5) = 3(5)^2 - 12(5) = 75 - 60 = 15 \) (+). Функция возрастает.

Ответ: Функция возрастает на интервалах \( (-\infty, 0) \) и \( (4, +\infty) \). Функция убывает на интервале \( (0, 4) \).