2. Найдите $\sin2\alpha,\cos2\alpha, g2\alpha,\ctg2\alpha$, если: а) $\cos\alpha=-\frac23,\ \frac\pi2<\alpha<\pi$; б) $ g\alpha=\frac35,\ \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Найдите $\sin2\alpha,\cos2\alpha, g2\alpha,\ctg2\alpha$, если: а) $\cos\alpha=-\frac23,\ \frac\pi2<\alpha<\pi$; б)…$ Фото задания

2. Найдите $\sin2\alpha,\cos2\alpha, g2\alpha,\ctg2\alpha$, если: а) $\cos\alpha=-\frac23,\ \frac\pi2<\alpha<\pi$; б) $ g\alpha=\frac35,\ \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$.

Accepted Answer

а) Так как $\alpha$ лежит во II четверти, $\sin\alpha>0$. Поэтому $\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\frac{\sqrt5}{3}$.

По формулам двойного угла:

$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{4\sqrt5}{9},\quad \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=-\frac19.$

$ g2\alpha=\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}=4\sqrt5,\quad \ctg2\alpha=\frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}=\frac{\sqrt5}{20}.$

б) Используем формулы двойного угла через тангенс:

$\sin2\alpha=\frac{2 g\alpha}{1+ g^2\alpha}=\frac{15}{17},\quad \cos2\alpha=\frac{1- g^2\alpha}{1+ g^2\alpha}=\frac8{17}.$

Следовательно, $ g2\alpha=\frac{15}{8}$, $\ctg2\alpha=\frac8{15}$.

Ответ: а) $\sin2\alpha=-\frac{4\sqrt5}{9},\ \cos2\alpha=-\frac19,\ g2\alpha=4\sqrt5,\ \ctg2\alpha=\frac{\sqrt5}{20}$; б) $\sin2\alpha=\frac{15}{17},\ \cos2\alpha=\frac8{17},\ g2\alpha=\frac{15}{8},\ \ctg2\alpha=\frac8{15}$.

2. Найдите \(\sin2\alpha,\cos2\alpha, g2\alpha,\ctg2\alpha\), если: а) \(\cos\alpha=-\frac23,\ \frac\pi2<\alpha<\pi\); б) \( g\alpha=\frac35,\ \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}\).

Ответ: