4. Докажите тождество: \(1+ g\alpha g2\alpha=\frac1{\cos2\alpha}\).

Преобразуем левую часть, используя \( g2\alpha=\frac{2 g\alpha}{1- g^2\alpha}\):

\(1+ g\alpha g2\alpha=1+\frac{2 g^2\alpha}{1- g^2\alpha}=\frac{1- g^2\alpha+2 g^2\alpha}{1- g^2\alpha}=\frac{1+ g^2\alpha}{1- g^2\alpha}.\)

По формуле \(\cos2\alpha=\frac{1- g^2\alpha}{1+ g^2\alpha}\) получаем \(\frac{1+ g^2\alpha}{1- g^2\alpha}=\frac1{\cos2\alpha}\). Тождество доказано при всех значениях \(\alpha\), для которых обе части определены.