3. Упростите выражение: а) $\frac{2 g\alpha}{1- g^2\alpha}\cdot(1+\cos4\alpha)$; б) $\frac{\cos2\alpha}{\ctg\alpha-\sin2\alpha}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Упростите выражение: а) $\frac{2 g\alpha}{1- g^2\alpha}\cdot(1+\cos4\alpha)$; б)…$ Фото задания

3. Упростите выражение: а) $\frac{2 g\alpha}{1- g^2\alpha}\cdot(1+\cos4\alpha)$; б) $\frac{\cos2\alpha}{\ctg\alpha-\sin2\alpha}$.

Accepted Answer

а) По формуле тангенса двойного угла $\frac{2 g\alpha}{1- g^2\alpha}= g2\alpha$, а $1+\cos4\alpha=2\cos^22\alpha$. Тогда

$ g2\alpha\cdot2\cos^22\alpha=2\sin2\alpha\cos2\alpha=\sin4\alpha.$

б) Преобразуем знаменатель:

$\ctg\alpha-\sin2\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}-2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{\cos\alpha(1-2\sin^2\alpha)}{\sin\alpha}=\frac{\cos\alpha\cos2\alpha}{\sin\alpha}.$

Поэтому $\frac{\cos2\alpha}{\ctg\alpha-\sin2\alpha}=\frac{\cos2\alpha}{\cos\alpha\cos2\alpha/\sin\alpha}= g\alpha$, при допустимых значениях $\alpha$, для которых исходное выражение определено.

Ответ: а) $\sin4\alpha$; б) $ g\alpha$.

3. Упростите выражение: а) \(\frac{2 g\alpha}{1- g^2\alpha}\cdot(1+\cos4\alpha)\); б) \(\frac{\cos2\alpha}{\ctg\alpha-\sin2\alpha}\).

Ответ: