2. Найдите углы прямоугольного треугольника, если известно, что точка, симметричная вершине прямого угла относительно гипотенузы, лежит на прямой, проходящей через середины двух сторон треугольника.

Обозначим вершину прямого угла через \(C\), а гипотенузу — через \(AB\). Отразим треугольник так, чтобы \(A=(0,0)\), \(B=(1,0)\), \(C=(t,h)\), где \(h>0\). Тогда точка, симметричная \(C\) относительно гипотенузы, имеет координаты \(C'=(t,-h)\).

Поскольку угол \(C\) прямой, скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{CA}\) и \(\overrightarrow{CB}\) равно нулю. Отсюда \(h^2=t(1-t)\).

Прямая через середины двух катетов параллельна гипотенузе и не может проходить через \(C'\), который лежит по другую сторону от гипотенузы. Остаются два варианта: прямая через середины гипотенузы и одного катета, параллельная другому катету. Подстановка координат середин в условие принадлежности \(C'\) этой прямой даёт соответственно \(t=\frac14\) или \(t=\frac34\).

При обоих значениях \(h=\frac{\sqrt3}{4}\). Если \(t=\frac14\), то \(\tan A=\frac{h}{t}=\sqrt3\), поэтому \(\angle A=60^\circ\), а \(\angle B=30^\circ\). Если \(t=\frac34\), то \(\tan A=\frac{h}{t}=\frac1{\sqrt3}\), поэтому \(\angle A=30^\circ\), а \(\angle B=60^\circ\).

Ответ: углы треугольника — \(30^\circ\), \(60^\circ\) и \(90^\circ\); острые углы могут располагаться в любом порядке.