5. Доказать, что выражение 48ⁿ − 2·6ⁿ + 13ⁿ кратно 7 при любом целом неотрицательном n.

Рассмотрим выражение по модулю 7. Имеем \(48\equiv -1\pmod 7\), \(6\equiv -1\pmod 7\) и \(13\equiv -1\pmod 7\). Поэтому

\(48^n-2\cdot6^n+13^n\equiv(-1)^n-2(-1)^n+(-1)^n=0\pmod 7\).

Следовательно, выражение делится на 7 при любом целом неотрицательном \(n\), в том числе при \(n=0\).

Доказано.