4. Как, используя несколько выражений a² и несколько выражений a³ + 1, также арифметические операции «+», «−», «*», получить выражение a³?

Обозначим \(x=a^2\), \(y=a^3+1\). Используем выражение \(y^2-y-x^3\):

\(y^2-y-x^3=(a^3+1)^2-(a^3+1)-(a^2)^3\).

Раскрываем квадрат и учитываем, что \((a^2)^3=a^6\):

\(a^6+2a^3+1-a^3-1-a^6=a^3\).

Значит, требуемое выражение можно получить, используя только сложение, вычитание и умножение.