№ 2. Найдите значения выражений: а) \(\log_3(5\sqrt2+\sqrt{23})+\log_3(5\sqrt2-\sqrt{23})\); б) \(\frac{\log_5 27}{\log_5 9}\).

а) Складываем логарифмы с одинаковым основанием: \(\log_3\big((5\sqrt2+\sqrt{23})(5\sqrt2-\sqrt{23})\big)\). По формуле разности квадратов получаем \((5\sqrt2)^2-(\sqrt{23})^2=50-23=27\). Следовательно, \(\log_3 27=3\).

б) По формуле перехода к новому основанию: \(\frac{\log_5 27}{\log_5 9}=\log_9 27=\log_{3^2}3^3=\frac32\).

Ответ: а) 3; б) \(\frac32\).